Uppgift 2
Vi definierar en följd $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ genom $a_1 = 1$ och $a_{n+1} = \frac{a_n}{2 + a_n}$ om $n\ge 1$. Gissa en sluten form för $a_n$ och bevisa gissningen med induktion.
Hela algebra · 2006-11-29
Uppgift 2
Visa lösningDölj lösning
De första termerna är $1,\frac13,\frac17,\frac1{15},\ldots$, så vi gissar att $a_n=\frac1{2^n-1}$. För $n=1$ stämmer detta. Antag att $a_n=\frac1{2^n-1}$. Då är $$a_{n+1}=\frac{a_n}{2+a_n}=\frac{1/(2^n-1)}{2+1/(2^n-1)}=\frac1{2^{n+1}-1}.$$ Induktionsprincipen ger formeln för alla $n\ge1$.