Uppgift 3
(a)
För vilka $a$ utgör vektorerna $(0, -1, 2)$, $(1, a, -2)$ och $(a, 3, 6)$ en bas för $\mathbb{R}^3$?
(b)
Låt nu $a = 1$. Bestäm vidare vektorn $\mathbf{u}$s koordinater i denna bas, om $\mathbf{u} = (3, 1, 2)$.
Hela algebra · 2006-11-29
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösning
a) Vektorerna bildar en bas precis när $$\det\begin{pmatrix}0&1&a\\-1&a&3\\2&-2&6\end{pmatrix}=-2(a-3)(a+2)\ne0.$$ Alltså krävs $a\ne-2,3$.
b) Skriv $(3,1,2)=x(0,-1,2)+y(1,1,-2)+z(1,3,6)$. Gausselimination av det motsvarande systemet ger $$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8/3\\8/3\\1/3\end{pmatrix}.$$ Koordinaterna i den givna basen är alltså $\left(\frac83,\frac83,\frac13\right)$.