Hela algebra · 2006-11-29

Uppgift 5

Uppgift 5

Låt $V$ vara mängden av alla vektorer i rummet. Låt vidare $\mathbf{e} = (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3)$ vara en positivt orienterad ON-bas i rummet. Definiera den linjära avbildningen $F$ av $V$ genom att sätta

$$F(\mathbf{v}) = \mathbf{v} + (\mathbf{a}\times\mathbf{v})$$

för alla $\mathbf{v}\in V$, där $\mathbf{a} = \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3$. Bestäm matrisen för $F$ i basen $\mathbf{e}$. Motivera också att det för varje given vektor $\mathbf{u}\in V$ finns en entydigt bestämd vektor $\mathbf{v}\in V$ sådan att

$$\mathbf{v} + (\mathbf{a}\times\mathbf{v}) = \mathbf{u}.$$

Bestäm också denna entydigt bestämda vektor $\mathbf{v}$ om $\mathbf{u} = \mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2 + 3\mathbf{e}_3$.

Visa lösningDölj lösning

Skriv $\mathbf v=v_1\mathbf e_1+v_2\mathbf e_2+v_3\mathbf e_3$. Då är $$F(\mathbf v)=(v_1-v_2+v_3)\mathbf e_1+(v_1+v_2-v_3)\mathbf e_2+(-v_1+v_2+v_3)\mathbf e_3,$$ så matrisen i basen $\mathbf e$ är $$A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&1&-1\\-1&1&1\end{pmatrix}.$$ Eftersom $\det A=4\ne0$ är $F$ inverterbar; alltså finns exakt ett $\mathbf v$ för varje $\mathbf u$. För $[\mathbf u]_{\mathbf e}=(1,2,3)^T$ ger lösningen av $A[\mathbf v]_{\mathbf e}=[\mathbf u]_{\mathbf e}$ att $$\mathbf v=\frac32\mathbf e_1+\frac52\mathbf e_2+2\mathbf e_3.$$