Uppgift 3

Låt $z=x+yi$, där $x,y\in\mathbb{R}$. Då är

$$\frac{z+i}{z-i}=\frac{x+yi+i}{x+yi-i}=\frac{x+(y+1)i}{x+(y-1)i}\cdot\frac{x-(y-1)i}{x-(y-1)i}$$

och alltså

$$\frac{z+i}{z-i}=\frac{x^2+y^2-1}{x^2+(y-1)^2}+\frac{2x}{x^2+(y-1)^2}i.$$

Talet är rent imaginärt precis då $x^2+y^2-1=0$, det vill säga då $(x,y)$ ligger på enhetscirkeln. Alltså gäller $\lvert z\rvert=1$, med undantag för $z=i$, där uttrycket inte är definierat.