Uppgift 4

Koefficientmatrisens determinant är uppenbarligen $0$ då $a=0$, eftersom sista raden då är en nollrad. Annars är determinanten $a(a-1)$. För $a\ne0$ och $a\ne1$ är determinanten skild från noll och systemet har en entydig lösning.

För $a=0$ måste också $b=0$ enligt den sista ekvationen. Då får vi $x=3$ samt $x+y=2$, och alltså oändligt många lösningar:

$$(x,y,z)=(3,-1,t),\qquad t\in\mathbb{R}.$$

För $a=0$ och $b\ne0$ saknar systemet lösning.

För $a=1$ får vi den utökade matrisen

$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&b&3\\1&1&1&2\\1&1&0&b\end{array}\right).$$

Subtraktion av den tredje raden från de två första ger

$$\left(\begin{array}{ccc|c}0&0&b&3-b\\0&0&1&2-b\\1&1&0&b\end{array}\right).$$

Den första raden minus $b$ gånger den andra ger en rad vars högerled är $b^2-3b+3$. Detta uttryck är aldrig noll, så systemet saknar lösning då $a=1$.

Svar: För $a\ne0,1$ finns en entydig lösning. För $a=0$ och $b=0$ finns oändligt många lösningar. I övriga fall saknas lösning.