Hela algebra · 2013-06-05

Uppgift 5

Uppgift 5

Anta att vektorerna $\mathbf{e}_1$, $\mathbf{e}_2$, $\mathbf{e}_3$ utgör en positivt orienterad ON-bas i rummet. Låt

$$ \mathbf{f}_1=\frac{2}{3}\mathbf{e}_1+\frac{2}{3}\mathbf{e}_2+\alpha\mathbf{e}_3 $$

och

$$ \mathbf{f}_2=-\frac{2}{3}\mathbf{e}_1+\frac{1}{3}\mathbf{e}_2+\beta\mathbf{e}_3, $$

för två tal $\alpha$ och $\beta$, där vi vet att $\alpha>0$. Bestäm $\alpha$ och $\beta$ samt bestäm koordinaterna för vektorn $\mathbf{f}_3$ så att $\mathbf{f}_1$, $\mathbf{f}_2$, $\mathbf{f}_3$ också ska utgöra en positivt orienterad ON-bas.

Visa lösningDölj lösning

På koordinatform kan vi skriva

$$\overline{\mathbf f}_1=\left(\frac23,\frac23,\alpha\right),\qquad \overline{\mathbf f}_2=\left(-\frac23,\frac13,\beta\right).$$

Eftersom $\overline{\mathbf f}_1\cdot\overline{\mathbf f}_2=0$ samt $\lVert\overline{\mathbf f}_1\rVert=\lVert\overline{\mathbf f}_2\rVert=1$, får vi

$$\alpha\beta=\frac29,\qquad \alpha^2=\frac19,\qquad \beta^2=\frac49.$$

Då $\alpha>0$ är $\alpha=\frac13$ och $\beta=\frac23$. Den tredje vektorn kan erhållas som $\overline{\mathbf f}_3=\overline{\mathbf f}_1\times\overline{\mathbf f}_2$, vilket ger

$$\overline{\mathbf f}_3=\left(\frac13,-\frac23,\frac23\right).$$