Hela algebra · 2013-06-05
Bestäm matrisen för den linjära avbildning i rummet som avbildar de tre vektorerna $(1,1,0)$, $(2,1,1)$ och $(-1,-1,3)$ på respektive $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ och $(0,0,1)$?
Avbildningen ovan följs av rotation med $180^\circ$ runt $z$-axel. Vilken matris har sammansättningen av dessa avbildningar?
a) Den linjära avbildningen är invers till den avbildning som skickar $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ och $(0,0,1)$ på respektive $(1,1,0)$, $(2,1,1)$ och $(-1,-1,3)$. Matrisen för den senare avbildningen är
$$A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\1&1&-1\\0&1&3\end{pmatrix}.$$
Standardberäkning av invers matris ger den sökta matrisen
$$A^{-1}=\frac13\begin{pmatrix}-4&7&1\\3&-3&0\\-1&1&1\end{pmatrix}.$$
b) En vridning med $180^\circ$ runt $z$-axeln skickar $(1,0,0)$ på $(-1,0,0)$, $(0,1,0)$ på $(0,-1,0)$ och lämnar $(0,0,1)$ fix. Dess matris är därför
$$B=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$
Den sökta matrisen är alltså
$$BA^{-1}=\frac13\begin{pmatrix}4&-7&-1\\-3&3&0\\-1&1&1\end{pmatrix}.$$