Hela algebra · 2013-08-15
Talföljden $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ definieras rekursivt genom: $a_0=7$, $a_1=5$ och $a_{n+1}=2a_n+3a_{n-1}$ för $n\ge 1$.
Du misstänker att det finns två konstanter $A$ och $B$ sådana att $a_n=A\cdot 3^n+B\cdot(-1)^n$ för $n\ge 0$. Verifiera misstanken (finn möjliga $A$ och $B$) och bevisa ditt påstående.
För $n=0$ och $n=1$ får vi
$$7=a_0=A\cdot3^0+B\cdot(-1)^0=A+B$$
och
$$5=a_1=A\cdot3^1+B\cdot(-1)^1=3A-B.$$
Därav följer $A=3$ och $B=4$. Vi visar därför genom induktion att
$$a_n=3\cdot3^n+4\cdot(-1)^n$$
för alla $n\ge0$. Påståendet gäller redan för $n=0$ och $n=1$. Antag att det gäller för $n=k$ och $n=k+1$, där $k\ge0$. Då är
$$\begin{aligned}a_{k+2}&=2a_{k+1}+3a_k\\&=2\left(3\cdot3^{k+1}+4(-1)^{k+1}\right)+3\left(3\cdot3^k+4(-1)^k\right)\\&=3\cdot3^{k+2}+4(-1)^{k+2}.\end{aligned}$$
Enligt induktionsprincipen gäller påståendet för alla $n\ge0$.