Hela algebra · 2013-08-15
Låt $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ och $\mathbf{w}$ vara tre vektorer i rymden som parvis bildar vinkel $30^\circ$. Antag vidare att $\lVert\mathbf{u}\rVert=1$, $\lVert\mathbf{v}\rVert=2$ och $\lVert\mathbf{w}\rVert=3$. Bestäm $\lVert\mathbf{u}+2\mathbf{v}-3\mathbf{w}\rVert$.
Vi beräknar
$$\begin{aligned}\lVert\mathbf{u}+2\mathbf{v}-3\mathbf{w}\rVert^2&=(\mathbf{u}+2\mathbf{v}-3\mathbf{w})\cdot(\mathbf{u}+2\mathbf{v}-3\mathbf{w})\\&=\lVert\mathbf{u}\rVert^2+4\lVert\mathbf{v}\rVert^2+9\lVert\mathbf{w}\rVert^2+4\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}-6\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}-12\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}.\end{aligned}$$
Eftersom vinklarna är $30^\circ$ och $\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, får vi
$$\lVert\mathbf{u}+2\mathbf{v}-3\mathbf{w}\rVert=\sqrt{1+16+81+(4-9-36)\sqrt3}=\sqrt{98-41\sqrt3}.$$