Uppgift 3

Om vi subtraherar den tredje ekvationen från den första och den andra får vi det ekvivalenta systemet

$$\begin{cases}(a-2)x=2-a,\\(a-3)z=2-a,\\2x+y+3z=a.\end{cases}$$

För $a=3$ blir den andra ekvationen $0=-1$, så lösningar saknas.

För $a=2$ blir systemet ekvivalent med

$$\begin{cases}-z=0,\\2x+y+3z=2,\end{cases}$$

vilket ger oändligt många lösningar:

$$(x,y,z)=(0,2,0)+t(1,-2,0).$$

För $a\ne2,3$ dividerar vi den första ekvationen med $a-2$ och den andra med $a-3$. Systemet får då den unika lösningen

$$(x,y,z)=\left(-1,\frac{a^2+2a-12}{a-3},\frac{2-a}{a-3}\right).$$