Hela algebra · 2013-08-15
Femton av 25 barn i en skolklass har en hund och 10 har en katt, varav 6 har både en hund och en katt. En djurvänskommitté bestående av tre personer ska väljas och i den ska minst två djurägare ingå. På hur många olika sätt kan kommittéen väljas? (Ledtråd: Hur många djurägare finns det i klassen? Rita Venn-diagramm.)
Låt $A=\{\text{barn med en hund}\}$ och $B=\{\text{barn med en katt}\}$. Det finns $6$ barn i $A\cap B$. Antalet barn som är klassens djurägare är därför
$$\lvert A\cup B\rvert=15+10-6=19.$$
De övriga $25-19=6$ barnen äger inget djur. Om kommittén enbart ska bestå av tre djurägare kan den väljas på $\binom{19}3$ sätt. Om kommittén ska innehålla en som inte äger något djur kan den väljas på $\binom{19}2\cdot6$ sätt.
Svar: Antalet möjligheter är
$$\binom{19}3+\binom{19}2\cdot6=1995.$$