Hela algebra · 2015-12-11

Uppgift 2

Hela tentan

Uppgift 2

Låt $b$ vara ett reellt tal, och betrakta de tre vektorerna

$$ \mathbf{u}=(1,1,b),\qquad \mathbf{v}=(1,-1,1+b)\qquad\text{och}\qquad\mathbf{w}=(b,b,b). $$

(a)

Finn volymen av parallellepipeden, som uppspänns av dem.

(b)

För vilka värden på $b$ utgör vektorerna $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$, $\mathbf{w}$ en bas för rummet?

(c)

För vilka värden på $b$ utgör vektorerna $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$, $\mathbf{w}$ en positivt orienterad bas?

Visa lösningDölj lösning

(a) Volymen är absolutbeloppet av determinanten $$\left|\begin{pmatrix}1&1&b\\1&-1&b\\b&1+b&b\end{pmatrix}\right|=2b^2-2b,$$ således $\lvert2b^2-2b\rvert$. (b) Vektorerna utgör en bas precis då $2b^2-2b\neq0$, alltså då $b\neq0,1$. (c) Basen är positivt orienterad precis då $2b^2-2b>0$, vilket sker då $b<0$ eller $b>1$.