Hela algebra · 2015-12-11

Uppgift 3

Uppgift 3

Rymdrebellerna Lukas Molnpromenerare och Hans Ensamvarg är ute på bevakningsuppdrag. Var och en av dem spejar över ett plan i rymden, med order att nedskjuta alla fientliga farkoster inom detta. I Rymdimperiets officiella koordinater har dessa plan ekvationerna

$$ x+2y+3z=1\qquad\text{respektive}\qquad -x-y+z=2. $$

¹ Under tentamen angavs felaktigt roten $1-i$.

(a)

Prinsessan Laila är en nyckelperson i frihetskampen, och skall därför stå under dubbel bevakning. Vilken linje skall hon färdas längs, för att beskyddas av båda rymdrebellerna?

(b)

Imperiets ondskefulle kejsare Pampatine färdas längs linjen

$$ (x,y,z)=(1,1,0)+t(2,2,-2). $$

Visa, att han därmed undviker upptäckt av den ene av rebellerna, och ange vilken.

(c)

Beräkna avståndet mellan kejsar Pampatines bana och planet denne rebell bevakar.

Visa lösningDölj lösning

(a) Gauss-elimination av ekvationssystemet $$\begin{cases}-x-y+z=2,\\x+2y+3z=1\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases}-x-y+z=2,\\y+4z=3\end{cases}$$ ger parameterlösningen $$x=-5+5t,\qquad y=3-4t,\qquad z=t,$$ vilket är ekvationen för prinsessan Lailas bana. (b) Substitueras kejsar Pampatines koordinater $(1+2t,1+2t,-2t)$ i vänsterledet till ekvationen för Lukas Molnpromenerares plan, fås $$(1+2t)+2(1+2t)+3(-2t)=3\neq1.$$ Linjen och planet saknar alltså skärning. Alternativ lösning. Kejsar Pampatines bana är parallell med planet $x+2y+3z=1$, eftersom riktningsvektorn $(2,2,-2)$ är vinkelrät mot normalvektorn $(1,2,3)$: $$(2,2,-2)\cdot(1,2,3)=0.$$ Punkten $(1,1,0)$ på banan uppfyller inte planets ekvation, så linjen och planet är parallella. (c) Avståndet mellan $(1,1,0)$ och planet är $$\frac{|1+2\cdot1+3\cdot0-1|}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}=\frac2{\sqrt{14}}.$$