Uppgift 4

(a) Projektionen av vektorn $u=(x,y,z)$ på planets normal ges av projektionsformeln: $$u_1=\frac{(x,y,z)\cdot(-3,1,-1)}{|(-3,1,-1)|^2}(-3,1,-1)=\frac{-3x+y-z}{11}(-3,1,-1)$$ $$=\frac1{11}(9x-3y+3z,-3x+y-z,3x-y+z).$$ Spegelbilden av $u$ i planet är $$u-2u_1=\frac1{11}(-7x+6y-6z,6x+9y+2z,-6x+2y+9z),$$ varur speglingsmatrisen avläses till $$\frac1{11}\begin{pmatrix}-7&6&-6\\6&9&2\\-6&2&9\end{pmatrix}.$$ (b) En spegling är alltid sin egen invers. Alternativ lösning. Man kontrollerar lätt, att determinanten är nollskild.