Hela algebra · 2015-12-11
Talföljden $a_n$ definieras genom rekursionsformeln
$$ a_n = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{a_{n-1}^2}}} & \text{om } n\ge 2,\\ 1 & \text{om } n=1. \end{cases} $$
Beräkna $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ och $a_5$.
Uppställ och bevisa en explicit formel för $a_n$ medelst induktion.
(a) $$a_1=1=\frac1{\sqrt1},\qquad a_2=\frac1{\sqrt2},\qquad a_3=\frac1{\sqrt3},\qquad a_4=\frac12=\frac1{\sqrt4},\qquad a_5=\frac1{\sqrt5}.$$ (b) Formeln är $a_n=\frac1{\sqrt n}$, vilken stämmer för $1\leq n\leq5$ enligt ovan. Antag, att $a_n=\frac1{\sqrt n}$ gäller för något $n$. Då gäller ävenledes $$a_{n+1}=\frac1{\sqrt{1+1/a_n^2}}=\frac1{\sqrt{1+1/(1/\sqrt n)^2}}=\frac1{\sqrt{1+n}}=\frac1{\sqrt{n+1}}.$$ Enligt Induktionsprincipen gäller formeln för alla $n$.