Uppgift 6

Rektangulär form $z=a+bi$ ger $$z+\frac1z=(a+bi)+\frac1{a+bi}=(a+bi)+\frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}$$ $$=\frac{(a+bi)(a^2+b^2)}{a^2+b^2}+\frac{a-bi}{a^2+b^2}=\frac{(a^3+ab^2+a)+(a^2b+b^3-b)i}{a^2+b^2}.$$ Uttrycket är reellt då $$0=a^2b+b^3-b=b(a^2+b^2-1)\Longleftrightarrow b=0\text{ eller }a^2+b^2=1,$$ alltså då $z$ är reellt eller $|z|=1$. Uttrycket är rent imaginärt då $$0=a^3+ab^2+a=a(a^2+b^2+1)\Longleftrightarrow a=0,$$ alltså då $z$ är rent imaginärt. Alternativ lösning. Polär form $z=re^{\theta i}$ ger $$z+\frac1z=r(\cos\theta+i\sin\theta)+\frac1r(\cos\theta-i\sin\theta)$$ $$=\left(r+\frac1r\right)\cos\theta+i\left(r-\frac1r\right)\sin\theta.$$ Uttrycket är reellt då $r-\frac1r=0$ eller $\sin\theta=0$, det vill säga $r=1$ eller $\theta=0,\pi$, alltså $|z|=1$ eller $z$ är reellt. Det är rent imaginärt då $r+\frac1r=0$ eller $\cos\theta=0$, det vill säga $\theta=\pm\frac\pi2$, alltså då $z$ är rent imaginärt.