Hela algebra · 2017-05-03
Beräkna
$$\operatorname{SGD}(26\,221, 10\,085).$$
Elsa är på konditori och väljer bland tretton olika bakelser. På hur många sätt kan hon välja nio bakelser bland dessa att äta? Ordningen i urvalet är oväsentlig. Svaret skall räknas ut explicit.
Mängderna $X$ och $Y$ uppfyller följande tre villkor:
$$X \cup Y = \{A, B, C, D, E, F\}, \qquad X \cap Y = \{F, A, B\}, \qquad X \setminus Y = \varnothing.$$
Bestäm alla möjligheter för (elementen i) mängderna $X$ och $Y$.
(a) Euklides algoritm ger
$$ \begin{aligned} 26221&=2\cdot10085+6051\\ 10085&=1\cdot6051+4034\\ 6051&=1\cdot4034+2017\\ 4034&=2\cdot2017+0. \end{aligned} $$
Den sista icke-försvinnande resten är
$$\operatorname{sgd}(26221,10085)=2017.$$
(b) Antalet oordnade urval av 9 objekt bland 13 är
$$\binom{13}{9}=\frac{13!}{9!4!}=\frac{13\cdot12\cdot11\cdot10}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=715.$$
(c) Från $X\cap Y=\{F,A,B\}$ och $X\setminus Y=\varnothing$ ser vi, att elementen i $X$, som också ligger i $Y$, är $F,A,B$, medan det saknas element i $X$, som inte ligger i $Y$. Alltså har vi $X=\{F,A,B\}$. För att $X$ och $Y$ tillsammans skall innehålla alla bokstäverna $A,\ldots,F$, så måste $Y$, förutom $F,A,B$, innehålla även resten, således $Y=\{A,B,C,D,E,F\}$.