Hela algebra · 2017-05-03

Uppgift 2

För att skydda transporterna till och från sin dator Dödshjärnan, låter den ondskefulle kejsar Pampatine sina dödspatruller noga bevaka planet

$$x - 2y - 2z = 3.$$

(a)

Rymdrebellen Lukas Molnpromenerare färdas med sitt rymdskepp längs linjen

$$(x, y, z) = (t, 1 - at, b),$$

där $a$ och $b$ är (reella) konstanter och $t$ betyder tiden. Hans bana visar sig tyvärr ligga inuti precis det farliga plan, som kejsar Pampatine särskilt bevakar. Bestäm konstanterna $a$ och $b$.

(b)

Prinsessan Laila flyger, klokt nog, längs med linjen

$$(x, y, z) = (1 + 2t, -2t, 1 + 3t), \qquad t \in \mathbb{R}.$$

Visa, att hennes bana aldrig korsar kejsar Pampatines plan.

(c)

Beräkna avståndet mellan prinsessan Lailas bana och planet kejsar Pampatine bevakar.

Visa lösningDölj lösning

(a) Villkoret är

$$3=t-2(1-at)-2b=(-2-2b)+(1+2a)t.$$

Detta skall gälla för alla värden på $t$, varför $a=-\frac12$ och $b=-\frac52$.

(b) Linjen korsar inte planet, ty ekvationen

$$3=(1+2t)-2(-2t)-2(1+3t)=-1$$

saknar lösning.

(c) Detta är avståndet mellan planet och valfri punkt på prinsessan Lailas bana, till exempel $L=(1,0,1)$. En godtycklig punkt i planet är $P=(3,0,0)$. Projektionen av vektorn $\overrightarrow{PL}=(-2,0,1)$ på planets normalvektor $(1,-2,-2)$ beräknas med Projektionsformeln till

$$\operatorname{proj}_{(1,-2,-2)}(-2,0,1)=\frac{(-2,0,1)\cdot(1,-2,-2)}{|(1,-2,-2)|^2}(1,-2,-2)=-\frac49(1,-2,-2).$$

Avståndet mellan linjen och planet är därför

$$\operatorname{proj}_{(1,-2,-2)}(-2,0,1)=-\frac49(1,-2,-2)=\frac49\cdot3=\frac43.$$