Uppgift 3

Vi har

$$(2+i)^2=3+4i\qquad\text{och}\qquad(2+i)^3=2+11i.$$

Skall ekvationen ha roten $2+i$, måste

$$\begin{aligned} 0&=(2+i)^3-(2+i)^2-7(2+i)+c\\ &=(2+11i)-(3+4i)-7(2+i)+c=-15+c, \end{aligned}$$

alltså $c=15$. Ekvationen $x^3-x^2-7x+15=0$ är reell, varför både $2\pm i$ är rötter enligt Konjugerade rotsatsen. Tredjegradspolynomet har därför faktorn

$$(x-2-i)(x-2+i)=x^2-4x+5.$$

Polynomdivision ger

$$x^3-x^2-7x+15=(x^2-4x+5)(x+3),$$

varur vi avläser de tre rötterna $2\pm i$ och $-3$.