Uppgift 4

Vi har

$$f(x)=1+\frac1{x+1}-\frac2x=\frac{x^2-2}{x(x+1)}=\frac{(x+\sqrt2)(x-\sqrt2)}{x(x+1)}.$$

Teckenstudium för funktionen finns i tabellen. Vi avläser, att $f(x)\le0$ precis då $-\sqrt2\le x<-1$ eller $0<x\le\sqrt2$.

| $x$ | $(-\infty,-\sqrt2)$ | $-\sqrt2$ | $(-\sqrt2,-1)$ | $-1$ | $(-1,0)$ | $0$ | $(0,\sqrt2)$ | $\sqrt2$ | $(\sqrt2,\infty)$ |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| $x+\sqrt2$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| $x+1$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| $x$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| $x-\sqrt2$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | odef. | $+$ | odef. | $-$ | $0$ | $+$ |

Tabell 1: Teckenstudium för $f(x)=\frac{(x+\sqrt2)(x-\sqrt2)}{x(x+1)}$.