Hela algebra · 2017-05-03

Uppgift 5

Uppgift 5

(a)

Visa, att vektorerna

$$\mathbf{e}'_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{e}_1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{e}_2$$

$$\mathbf{e}'_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{e}_1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{e}_2$$

beskriver en ny bas i planet (där $\mathbf{e}_1$, $\mathbf{e}_2$ är standardbasen).

(b)

Avgör, om denna nya bas är ortonormerad.

(c)

Avbildningen $T : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}$ har i standardbasen matrisen

$$A = \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2}\end{pmatrix}.$$

Finn avbildningsmatrisen i basen $(\mathbf{e}'_1, \mathbf{e}'_2)$.

(d)

Tolka avbildningen geometriskt.

Visa lösningDölj lösning

(a) Basbytesmatrisen är

$$Q=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt2}&\frac{\sqrt3}{2}\\[2pt]\frac1{\sqrt2}&-\frac{\sqrt3}{2}\end{pmatrix}.$$

Eftersom $\det Q=-\frac{\sqrt3}{\sqrt2}\ne0$, är detta en giltig basbytesmatris och kolonnerna $e'_1,e'_2$ ger en ny bas (Linjära algebrans huvudsats).

(b) Vi verifierar att

$$Q^{\mathsf T}Q=\begin{pmatrix}1&0\\0&\frac32\end{pmatrix}\ne E,$$

vilket visar att basen inte är ortonormerad.

$$Q^{-1}=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt2}\\[2pt]\frac1{\sqrt3}&-\frac1{\sqrt3}\end{pmatrix}$$

till basbytesmatrisen. Den nya avbildningsmatrisen fås sedan som

$$A'=Q^{-1}AQ=\begin{pmatrix}\sqrt2&0\\0&1\end{pmatrix}.$$

(d) Avbildningen töjer faktorn $\sqrt2$ längs $e'_1$ (och lämnar riktningen $e'_2$ oförändrad).