Hela algebra · 2017-05-03
Betrakta två punkter $A$ och $B$ i rummet. Låt $M$ vara mittpunkten på sträckan $AB$, och låt $P$ vara en godtycklig punkt.
Uttryck vektorerna $\overrightarrow{AB}$ och $\overrightarrow{PM}$ som linjärkombinationer av $\overrightarrow{PA}$ och $\overrightarrow{PB}$.
Bevisa formeln
$$\lVert\overrightarrow{PM}\rVert^{2} = \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} + \frac{1}{4}\lVert\overrightarrow{AB}\rVert^{2}.$$
(a) Vektordifferensen är $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}$, och vidare har vi $\overrightarrow{PM}=\frac12(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB})$ enligt Mittpunktsformeln.
(b) Från dessa formler får vi
$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}|^2&=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=\left(\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}\right)\cdot\left(\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}\right)\\ &=\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PA}-2(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB})\\ &=|\overrightarrow{PB}|^2+|\overrightarrow{PA}|^2-2(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}) \end{aligned} $$
och
$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{PM}|^2&=\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PM}=\frac12(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB})\cdot\frac12(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB})\\ &=\frac14\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PA}+\frac14\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PB}+\frac12(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB})\\ &=\frac14|\overrightarrow{PA}|^2+\frac14|\overrightarrow{PB}|^2+\frac12(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}). \end{aligned} $$
Härav sluter vi att
$$|\overrightarrow{PM}|^2-\frac14|\overrightarrow{AB}|^2=\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB},$$
vilket är det önskade påståendet.
Alternativ lösning. Välj ett ortonormerat koordinatsystem med origo i $M$ och sträckan $AB$ längs $x$-axeln. Då är
$$M=(0,0,0),\qquad A=(a,0,0)\quad\text{och}\quad B=(-a,0,0)$$
för något tal $a$. Ansätter vi nu $P=(x,y,z)$, så kalkylerar vi enkelt
$$|\overrightarrow{PM}|^2=|(-x,-y,-z)|^2=x^2+y^2+z^2$$
och
$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}+\frac14|\overrightarrow{AB}|^2 &=(-x+a,-y,-z)\cdot(-x-a,-y,-z)+\frac14|(-2a,0,0)|^2\\ &=(x-a)(x+a)+y^2+z^2+\frac14(2a)^2\\ &=x^2+y^2+z^2, \end{aligned} $$
varför beviset är färdigställt. (Det går att göra godtyckliga ansatser för punkterna $A$ och $B$, men räkningarna förenklas maximalt, om koordinatsystemet väljes som ovan.)