Uppgift 1

Lättast är att först skriva täljare och nämnare på polär form var för sig och sedan dividera:
$$w=\frac{1+i}{\sqrt3+i} =\frac{\sqrt2e^{i\pi/4}}{2e^{i\pi/6}} =\frac1{\sqrt2}e^{i(\pi/4-\pi/6)} =\frac1{\sqrt2}e^{i\pi/12}.$$
För att lösa ekvationen skriver vi
$$w=2^{-1/2}e^{i\pi/12+2ki\pi},\qquad k\in\mathbb Z,$$
och får rötterna
$$z_k=2^{-1/8}e^{i\pi(1/48+k/2)},\qquad k\in\mathbb Z.$$
Här räcker det att ta $k=0,1,2,3$ då ju $z_k=z_{k+4}$. Eftersom $e^{ki\pi/2}=i^k$ kan man även skriva
$$z_k=2^{-1/8}i^ke^{i\pi/48}.$$
I det komplexa talplanet är rötterna hörnen i en kvadrat. För att rita den kan man lägga märke till att $\pi/48=180/48=3,75$ grader. Figuren behöver inte vara precisionsritad – det är knepigt att åstadkomma en vinkel på $3,75$ grader med bara sitt ögonmått. Det måste dock framgå att rötterna utgör hörnen i en kvadrat med medelpunkt i $0$.