Hela algebra · 2017-08-14
Låt linjen $L_1$ vara skärningen mellan de två planen $x + y - z = 2$ och $x - y + z = 4$. Låt vidare $M$ vara det plan som innehåller punkten $(0, 3, -2)$ och är ortogonalt mot linjen $L_2 : (x, y, z) = (2t, 1 + 3t, 1 - 3t)$, $t \in \mathbb{R}$.
Visa att $L_1$ är parallell med $M$ och bestäm avståndet mellan dem.
Avgör om linjerna $L_1$ och $L_2$ skär varandra.
(a) En ekvation för $L_1$ kan vi få genom att lösa systemet
$$x+y-z=2,\qquad x-y+z=4.$$
Vi får $x=3$, $y-z=-1$, så en parameterframställning är
$$L_1:(x,y,z)=(3,s,s+1).$$
En riktningsvektor till $L_1$ är tydligen $u=(0,1,1)$. En normalvektor till $M$ är $n=(2,3,-3)$. Eftersom skalärprodukten
$$u\cdot n=0\cdot2+1\cdot3+1\cdot(-3)=0,$$
så är $u$ och $n$ ortogonala och därmed är $L_1$ parallell med planet $M$. En punkt på $L_1$ är $P=(3,0,1)$ och en på $M$ är $Q=(0,3,-2)$. Avståndet mellan $L_1$ och $M$ är alltså lika med längden av projektionen av $v=\\overrightarrow{PQ}=(-3,3,-3)$ på $n$. Den är lika med
$$d=\frac{|v\cdot n|}{|n|}
=\frac{|(-3)\cdot2+3\cdot3+(-3)\cdot(-3)|}{\sqrt{2^2+3^2+(-3)^2}}
=\frac{12}{\\sqrt{22}}.$$
(b) För att avgöra om $L_1$ och $L_2$ skär varandra, måste vi undersöka om systemet
$$3=2t,\qquad s=1+3t,\qquad s+1=1-3t$$
har någon lösning. Men den första ekvationen ger $t=3/2$, vilket insatt i den andra ger $s=11/2$ och i den tredje $s=-9/2$. Detta är en motsägelse, så systemet saknar lösningar och linjerna skär därmed inte varandra.