Hela algebra · 2017-08-14
Låt
$$A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & a^{3} & a^{2} & a \\ 1 & a & 2 & 1\end{pmatrix},$$
där $a$ är ett reellt tal.
Beräkna $\det A$ och bestäm de värden på $a$ för vilka $A$ är inverterbar.
Bestäm $A^{-1}$ för $a = -1$ och lös i det fallet matrisekvationen $AX + A = E$, där $E$ är enhetsmatrisen.
(a) Det är enkelt att utveckla efter första raden eller första kolonnen, men för att underlätta arbetet så mycket som möjligt, kan man börja med att subtrahera den första raden från den sista; det förändrar inte determinantens värde. Detta ger
$$
\det A=
\begin{vmatrix}
1&0&1&0\\
0&1&1&1\\
0&a^3&a^2&a\\
0&a&1&1
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
1&1&1\\
a^3&a^2&a\\
a&1&1
\end{vmatrix}.
$$
Här är det lämpligt att subtrahera den första raden från den tredje:
$$
\det A=
\begin{vmatrix}
1&1&1\\
a^3&a^2&a\\
a-1&0&0
\end{vmatrix}.
$$
Utveckling längs den tredje raden ger nu
$$
\det A=(a-1)\begin{vmatrix}1&1\\a^2&a\end{vmatrix}
=(a-1)(a-a^2)=-a(a-1)^2.
$$
Eftersom $\det A=0$ om och endast om $a=0$ eller $a=1$, så är $A$ inverterbar för alla andra värden på $a$.
(b) För $a=-1$ är
$$A=\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&1&1&1\\0&-1&1&-1\\1&-1&2&1\end{pmatrix}.$$
Vanlig Gausselimination ger att inversen är
$$A^{-1}=\begin{pmatrix}
1&-\frac12&-\frac12&0\\
\frac12&\frac12&0&-\frac12\\
0&\frac12&\frac12&0\\
-\frac12&0&-\frac12&\frac12
\end{pmatrix}.$$
Ekvationen $AX+A=E$ kan skrivas $A(X+E)=E$, vilket ger
$$X=A^{-1}E-E=A^{-1}-E
=\begin{pmatrix}
0&-\frac12&-\frac12&0\\
\frac12&-\frac12&0&-\frac12\\
0&\frac12&-\frac12&0\\
-\frac12&0&-\frac12&-\frac12
\end{pmatrix}.$$