Uppgift 5

Låt $p/q$ vara en rationell rot, där $p$ och $q$ är relativt prima. Insättning i ekvationen och multiplikation med $q^3$ ger
$$3p^3-7p^2q+8pq^2-2q^3=0.$$
De tre första termerna i vänsterledet är delbara med $p$, så även $2q^3$ måste vara det. Men $p$ och $q$ är relativt prima, så $p$ måste dela $2$. Alltså är $p=\pm1$ eller $\pm2$. På samma sätt får vi att $q$ delar $3$, vilket ger möjligheterna $q=\pm1$ och $q=\pm3$. De möjliga rationella rötterna är således
$$\frac pq=\pm1,\ \pm2,\ \pm\frac13,\ \pm\frac23.$$
För att minska antalet prövningar kan vi lägga märke till att ekvationen inte har någon negativ rot, eftersom alla termerna i vänsterledet är negativa då $x<0$. Prövning visar att $1/3$ är en rot och division ger
$$3x^3-7x^2+8x-2=(3x-1)(x^2-2x+2).$$
De två återstående rötterna får vi genom att lösa $x^2-2x+2=0$ och de är $x=1\pm i$.