Uppgift 6

För $n=1$ är vänsterledet lika med $1^3=1$ och högerledet är
$$1^2(2\cdot1^2-1)=1,$$
så formeln är sann i det fallet. Induktionsbasen är med andra ord klar. Antag nu att formeln är sann för något visst värde på $n$, det vill säga att
$$1^3+3^3+\\cdots+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1).$$
Detta är alltså induktionsantagandet. Vi måste visa att den i så fall är sann även för nästa värde på $n$, det vill säga $n+1$. För $n+1$ är vänsterledet lika med
$$1^3+3^3+\\cdots+(2n-1)^3+(2(n+1)-1)^3,$$
vilket enligt induktionsantagandet är lika med
$$n^2(2n^2-1)+(2(n+1)-1)^3.$$
Vi förenklar detta:
$$\begin{aligned} n^2(2n^2-1)+(2(n+1)-1)^3 &=n^2(2n^2-1)+(2n+1)^3\\\\ &=2n^4-n^2+8n^3+12n^2+6n+1\\\\ &=2n^4+8n^3+11n^2+6n+1. \end{aligned}$$
Högerledet för $n+1$ är lika med
$$\begin{aligned} (n+1)^2(2(n+1)^2-1) &=(n^2+2n+1)(2n^2+4n+1)\\\\ &=2n^4+8n^3+11n^2+6n+1, \end{aligned}$$
vilket är lika med vänsterledet för $n+1$. Enligt induktionsprincipen är formeln sann för alla positiva heltal $n$ och beviset är klart.