Uppgift 1

(a) Det systematiska sättet att hitta en lösning är att använda Euklides algoritm:
$$53=2\cdot19+15,\quad19=1\cdot15+4,\quad15=3\cdot4+3,\quad4=1\cdot3+1.$$
Så $\operatorname{sgd}(53,19)=1$ och vi kan lösa hjälpekvationen $53x+19y=1$ genom att köra Euklides algoritm baklänges:
$$1=-5\cdot53+14\cdot19.$$
Vi får att $(x,y)=(-5,14)$ löser hjälpekvationen. Multipliceras denna lösning med $4$ fås en partikulärlösning $(x,y)=(-20,56)$ till vår ekvation, så den allmänna lösningen ges därmed av
$$x=-20+19k,\qquad y=56-53k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

(b) Villkoret $|x|<19$ ger $-19<-20+19k<19$, som har lösningarna $k=1,2$, vilket insatt i lösningsformeln ger $(x,y)=(-1,3)$ samt $(x,y)=(18,-50)$.