Hela algebra · 2017-12-06
På en arbetsplats med $20$ kvinnor och $10$ män skall en festkommitté med $2$ kvinnor och $2$ män utses, och en av kommittémedlemmarna skall utses till ordförande. På hur många sätt kan detta göras? (Svaret skall anges uträknat.)
Rita ellipsen
$$x^{2} + 2y^{2} + 4x - 4y + 2 = 0.$$
Ange speciellt medelpunkt, halvaxlar och brännpunkter.
(a) Kvinnorna kan väljas på $\binom{20}{2}$ sätt, männen på $\binom{10}{2}$ sätt, och därefter kan ordföranden väljas på $4$ sätt. Enligt multiplikationsprincipen är antalet sätt
$$\binom{20}{2}\binom{10}{2}4=190\cdot45\cdot4=34200.$$
(b) Efter kvadratkomplettering får vi den normaliserade ekvationen
$$\frac{(x+2)^2}{2^2}+\frac{(y-1)^2}{(\sqrt2)^2}=1.$$
Från detta ser vi direkt att medelpunkten är $(-2,1)$, halvaxeln i $x$-led är $2$, och halvaxeln i $y$-led är $\sqrt2$. Vidare, om storaxeln är $a=2$, lillaxeln är $b=\sqrt2$, och avståndet från medelpunkten till brännpunkterna med $c$ gäller $a^2=b^2+c^2$. Detta ger $c=\sqrt2$, så brännpunkterna är $(-2\pm\sqrt2,1)$. Nu kan vi skissa grafen.