Hela algebra · 2017-12-06
Betrakta polynomet $p(z) = z^{5} + 2z^{4} + 4z + 8$.
Bestäm alla komplexa nollställen till $p(z)$.
Faktorisera $p(z)$ i irreducibla reella faktorer (dvs reella faktorer av så låga gradtal som möjligt).
Tips: $p(z)$ har ett rationellt nollställe.
(a) Om $z=m/n$ är ett rationellt nollställe med $\operatorname{sgd}(m,n)=1$ gäller $m\mid8$ och $n\mid1$, så vi får kandidaterna $z=\pm1,\pm2,\pm4,\pm8$. Prövning ger att $z=-2$ fungerar, så $z+2$ är en faktor. Polynomdivision ger
$$p(z)=(z+2)(z^4+4).$$
Vi vill därför lösa $z^4+4=0\Longleftrightarrow z^4=-4$. Ansätter vi lösningen på polär form $z=re^{\\theta i}$ fås $r^4e^{4\\theta i}=4e^{\\pi i}$. Vi behöver alltså $r^4=4$ och $4\\theta=\pi+2\pi n$ för $n\in\mathbb Z$, vilket ger $r=\sqrt2$ och $\\theta=\\pi/4+\\pi n/2$. Sätter vi in $n=1,2,3,4$ fås lösningarna $z=\pm1\pm i$. Svar: $z_1=-2$, $z_{2,3,4,5}=\pm1\pm i$.
(b) Parar vi ihop konjugerade nollställen får vi
$$\begin{aligned}
p(z)&=(z+2)(z-1-i)(z-1+i)(z+1-i)(z+1+i)\\\\
&=(z+2)(z^2-2z+2)(z^2+2z+2).
\end{aligned}$$