Hela algebra · 2017-12-06
Lös olikheten
$$x^{2} - x + 2 > 0.$$
Visa med hjälp av induktion att för alla positiva heltal $n \ge 3$ så är
$$\left(1 + \frac{1}{1^{3}}\right)\left(1 + \frac{1}{2^{3}}\right)\left(1 + \frac{1}{3^{3}}\right) \cdots \left(1 + \frac{1}{n^{3}}\right) < 3 - \frac{1}{n}.$$
(a) $x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0$ för alla $x\in\mathbb R$.
(b) I basfallet $n=3$ är
$$VL=\left(1+\frac1{1^3}\right)\left(1+\frac1{2^3}\right)\left(1+\frac1{3^3}\right)=\frac21\cdot\frac98\cdot\frac{28}{27}=\frac73$$
och
$$HL=3-\frac13=\frac83,$$
så $VL<HL$. Vi gör nu induktionsantagandet att olikheten gäller för något $n=k\ge3$. För $n=k+1$ får vi då
$$\begin{aligned}
VL&=\prod_{j=1}^{k}\left(1+\frac1{j^3}\right)\left(1+\frac1{(k+1)^3}\right)\\\\
&<[\\text{ind.ant.}]<\left(3-\frac1k\right)\left(1+\frac1{(k+1)^3}\right)\\\\
&<[\\text{vi vill}]<3-\frac1{k+1}.
\end{aligned}$$
Vi behöver alltså
$$\left(3-\frac1k\right)\left(1+\frac1{(k+1)^3}\right)<3-\frac1{k+1},$$
som är ekvivalent med
$$k(k+1)^2-(k+1)^3+3k-1<0
\Longleftrightarrow k^2-k+2>0,$$
som alltid är sant enligt (a). Alltså gäller olikheten även för $n=k+1$. Enligt induktionsprincipen gäller därför olikheten för $n=3,4,5,\ldots$.