Hela algebra · 2017-12-06
Ett rymdskepp färdas längs den räta linjen
$$(x, y, z) = (5, 4, 2) + t(2, 1 + 2a, 1 + a), \qquad t \in \mathbb{R},$$
för något värde på parametern $a$. Betrakta planet $P : x + 2y - z = 17$.
Om $a = 0$, i vilken punkt kommer rymdskeppet träffa planet $P$, och vad är den spetsiga infallsvinkeln (dvs vinkeln mellan linjen och planet)?
Vilket värde på $a$ skall rymdskeppets kaptenen välja för att undvika att linjen skall korsa planet?
(a) Sätter vi in rymdskeppets koordinater i planets ekvation får vi
$$(5+2t)+2(4+t)-(2+t)=17,$$
som har lösningen $t=2$. Skärningspunkten är därmed $(9,6,4)$. Vinkeln $\\theta$ mellan linjens riktningsvektor $v=(2,1,1)$ och planets normal $n=(1,2,-1)$ fås av
$$\cos\\theta=\frac{v\cdot n}{|v||n|}=\frac36=\frac12,$$
så $\\theta=\\pi/3$. Vinkeln med planet är därmed $\\pi/2-\\theta=\\pi/6$.
(b) Eftersom punkten $(5,4,2)$ på linjen inte ligger i planet, räcker det att riktningsvektorn $v=(2,1+2a,1+a)$ är ortogonal mot $n$. Vi får
$$0=v\cdot n=3+3a,$$
så $a=-1$.