Uppgift 1

(a) Vi börjar med Euklides algoritm:
$$ \begin{aligned} 17&=1\cdot10+7,\\ 10&=1\cdot7+3,\\ 7&=2\cdot3+1. \end{aligned} $$
så $\operatorname{SGD}(17,10)=1$ och vi kan lösa ekvationen genom att köra Euklides algoritm baklänges:
$$1=7-2\cdot3=7-2\cdot(10-1\cdot7)=3\cdot7-2\cdot10 =3\cdot(17-1\cdot10)-2\cdot10=3\cdot17-5\cdot10.$$
Vi får att $(x,y)=(3,-5)$ är en partikulärlösning till hjälpekvationen $17x+10y=1$. Multipliceras denna med $5$ får en partikulärlösning till vår ekvation, så den allmänna lösningen ges därmed av
$$ \begin{cases} x=15+10k,\\ y=-25-17k \end{cases} \qquad k\in\mathbb Z. $$

(b) Insättning av lösningen ger $2x+y=5+3k$. Vi behöver alltså hitta den rest av $5$ modulo $3$ som ligger närmast $0$ på tallinjen, vilket är $-1$ och som fås för $k=-2$. Vi finner alltså det minsta värdet $|2x+y|=1$ för $(x,y)=(-5,9)$.