Hela algebra · 2018-08-15
Bestäm sista siffran i talet $95^3+3^{95}$.
Mängderna $A$ och $B$ uppfyller $\lvert B\rvert=97$, $\lvert A\cup B\rvert=100$ samt $\lvert A\cap B\rvert=50$. Bestäm $\lvert A\rvert$ och $\lvert B\setminus A\rvert$.
Hur många olika ”ord” kan man bilda genom att permutera bokstäverna i ordet MATEMATIK? Vad blir svaret om de inte innehålla bokstavskombinationen MATTE? Svaren får innehålla fakulteter.
(a) Vi räknar modulo $10$ och får
$$95^{53}\equiv5^{53}=125\equiv5\pmod {10}$$
och
$$3^{95}=3^{2\cdot47+1}=(3^2)^{47}3\equiv(-1)^{47}3=-3\pmod {10},$$
så $95^{53}+3^{95}=5-3=2\pmod {10}$, varför sista siffran är $2$.
(b) $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$ så $100=|A|+97-50$ vilket ger $|A|=53$. Vidare är
$$|B\setminus A|=|B|-|A\cap B|=97-50=47.$$
(c) Eftersom MATEMATIK har $9$ bokstäver, varav $3$ dubbelter, fås enligt välkänd princip
$$\frac{9!}{(2!)^3}=45360$$
ord. Om vi för andra delfrågan börjar med att beräkna antalet ”förbjudna” ord får vi $5$ byggstenar: MATTE, M, A, I och K, som kan ordnas på $5!$ sätt. Vi får alltså kvar
$$\frac{9!}{(2!)^3}-5!=45240$$
ord.