Uppgift 3
Betrakta polynomet $p(z)=(z-1)^4+4$.
(a)
Bestäm alla komplexa nollställen till $p(z)$ på rektangulär form.
(b)
Faktorisera $p(z)$ i irreducibla reella faktorer (dvs reella faktorer av så låga gradtal som möjligt).
Hela algebra · 2018-08-15
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösning
(a) Sätter vi $u=z-1$ så vill vi lösa $u^4=-4$. Ansätter vi lösningen på polär form $u=re^{\theta i}$ fårs $r^4e^{4\theta i}=4e^{\pi i}$. Vi behöver alltså $r^4=4$ och $4\theta=\pi+2\pi n$ för $n\in\mathbb Z$. Vilket ger $r=\sqrt2$ och
$$\theta=\frac\pi4+\frac\pi2n.$$
Sätter vi in $n=1,2,3,4$ fås lösningarna $u=\pm1\pm i$, så
$$z_{1,2}=2\pm i\qquad\text{och}\qquad z_{3,4}=\pm i.$$
(b) Parar vi ihop konjugerade nollställen får vi
$$p(z)=(z^2-4z+5)(z^2+1).$$