Hela algebra · 2018-08-15

Uppgift 4

Uppgift 4

Betrakta vektorerna $\mathbf{f}_1=(1,2,1)$, $\mathbf{f}_2=(a,b,a)$ och $\mathbf{f}_3=(b,4a,0)$, med koordinater i standardbasen $(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3)$ och $a,b\in\mathbb{R}$.

(a)

Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp av $\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2,\mathbf{f}_3$.

(b)

Bestäm för vilka $a,b$ som $(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2,\mathbf{f}_3)$ bildar en bas för rummet, samtidigt som en av vektorerna är parallell med planet $y=0$.

(c)

Bestäm koordinaterna för vektorn $\mathbf{e}_3$ i baser som i (b).

Visa lösningDölj lösning

(a) Låt $M$ vara matrisen med vektorerna som kolonner. Då får vi genom radoperationer
$$ \det(M)= \begin{vmatrix} 1&a&b\\ 2&b&4a\\ 1&a&0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&a&b\\ 0&b-2a&4a-2b\\ 0&0&-b \end{vmatrix} =b(2a-b), $$
så volymen är
$$|\det(M)|=|b(2a-b)|.$$

(b) En vektor $\vec v$ är parallell med planet $y=0$ om och endast om $\vec v\cdot\vec e_2=0$. Detta uppfylls för $\vec f_2$ om $b=0$, och för $\vec f_3$ om $a=0$. Eftersom vektorerna dessutom skall bilda en bas måste $\det(M)\neq0$, så vi får sammanfattningsvis kraven $a=0$, $b\neq0$.

(c) Löser vi ekvationssystemet som svarar mot ekvationen $x\vec f_1+y\vec f_2+z\vec f_3=\vec e_3$, får vi koordinaterna
$$(x,y,z)=\left(1,-\frac2b,-\frac1b\right).$$