Hela algebra · 2018-08-15
Betrakta de två linjerna
$$(x,y,z)=(1,1,0)+t(-1,-2,-1)\quad\text{och}\quad(x,y,z)=(0,-1,-2)+t(1,1,1)$$
för $t\in\mathbb{R}$.
Visa att de är skeva.
Bestäm avståndet mellan linjerna. Ange också de två punkter på linjerna som ligger närmast varandra.
(a) Gemensamma skärningspunkter fås genom att lösa ekvationssystemet
$$
\begin{cases}
1-s=t,\\
1-2s=-1+t,\\
-s=-2+t,
\end{cases}
$$
som saknar lösning. Linjerna är inte heller parallella, ty riktningsvektorerna $\vec v_1=(-1,-2,-1)$ och $\vec v_2=(1,1,1)$ är inte parallella. Således måste de vara skeva.
(b) En godtycklig punkt på vardera linjen är $P=(1-s,1-2s,-s)$ respektive $Q=(t,-1+t,-2+t)$. Då punkterna ligger som närmast, skall vektorn
$$\overrightarrow{PQ}=(-1+s+t,-2+2s+t,-2+s+t)$$
vara ortogonal mot de båda riktningsvektorerna, vilket ger ekvationssystemet
$$
\begin{cases}
0=\vec v_1\cdot\overrightarrow{PQ}=7-6s-4t,\\
0=\vec v_2\cdot\overrightarrow{PQ}=-5+4s+3t.
\end{cases}
$$
med lösningen $s=\frac12$ och $t=1$. De närmaste punkterna är alltså
$$P=\left(\frac12,0,-\frac12\right)\qquad\text{och}\qquad Q=(1,0,-1)$$
på avståndet
$$|\overrightarrow{PQ}|=\left|\left(\frac12,0,-\frac12\right)\right|=\frac1{\sqrt2}.$$