Hela algebra · 2018-08-15
Avbildningen $F$ har matrisen $A=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}-4&3\\ 3&4\end{pmatrix}$ i standardbasen i planet. Betrakta vektorerna
$$\begin{cases}\mathbf{e}'_1=\frac{1}{\sqrt{10}}(3,-1)\\ \mathbf{e}'_2=\frac{1}{\sqrt{10}}(1,3).\end{cases}$$
Visa att $(\mathbf{e}'_1,\mathbf{e}'_2)$ bildar en positivt orienterad ON-bas för planet, bestäm matrisen för $F$ i denna bas, samt tolka avbildningen geometriskt.
Basbytesmatrisen
$$Q=\frac1{\sqrt{10}}\begin{pmatrix}3&1\\-1&3\end{pmatrix}$$
är ortogonal, ty
$$
Q^TQ=\frac1{10}
\begin{pmatrix}3&-1\\1&3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}3&1\\-1&3\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
=E.
$$
Vidare är $\det(Q)=1>0$, så basen är positivt orienterad. Avbildningsmatrisen i den nya basen är
$$
A'=Q^{-1}AQ=Q^TAQ=
\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}.
$$
Avbildningen är därmed spegling i linjen genom origo med riktningsvektor $\vec e'_2$, dvs. spegling i linjen $y=3x$.