Hela algebra · 2019-06-10
Vilken (minsta ickenegativa) rest ges vid division av $56^{999} + 33^{40}$ med $19$?
Ange sanningstabellerna för följande utsagor (svar räcker, men måste vara helt korrekt för poäng).
$$P \Rightarrow \neg Q$$
$$(Q \land \neg P) \Rightarrow P$$
$$(Q \land P) \lor (\neg P).$$
Hur många olika ”ord” kan man bilda genom att permutera bokstäverna i ordet SOMMARLOV? Vad blir svaret om de inte får innehålla bokstavskombinationen SLARV? Svaren får innehålla fakulteter.
(a) Moduliräkning ger att
$$56^{999}+33^{40}\equiv(-1)^{999}+(-5)^{40}=-1+5^{40}=-1+(5^{18})^2 5^4\equiv-1+1^2 5^4=-1+25^2=-1+6^2=35\equiv16\pmod {19},$$
där vi använt att Fermats lilla sats ger att $5^{18}\equiv1\pmod {19}$. Svar: Resten är $16$.
(b) Sanningstabellen är
$$
\begin{array}{c|c|c|c|c}
P&Q&P\Rightarrow\neg Q&(Q\land\neg P)\Rightarrow P&(Q\land P)\lor(\neg P)\\
\hline
S&S&F&S&S\\
S&F&S&S&F\\
F&S&S&F&S\\
F&F&S&S&S
\end{array}
$$
(c) Eftersom SOMMARLOV har $9$ bokstäver, varav $2$ dubbletter, fås enligt välkänd princip
$$\frac{9!}{(2!)^2}=90720$$
ord. Om vi för andra delfrågan börjar med att beräkna antalet ”förbjudna” ord får vi $5$ byggstenar: SLARV, O, O, M, M, som enligt samma princip kan ordnas på
$$\frac{5!}{(2!)^2}=30$$
sätt. Vi får alltså kvar
$$\frac{9!}{(2!)^2}-30=90690$$
ord.