Uppgift 3

Upprepad användning av konjugatregeln ger omedelbart
$$p(z)=(z-\sqrt2)(z+\sqrt2)(z^2+2)(z^4+4),$$
vilket direkt ger fyra nollställen $z=\pm\sqrt2$ och $z=\pm\sqrt2\,i$. Återstår att lösa ekvationen $z^4+4=0$, dvs. $z^4=-4$. Ansätter vi lösningen på polär form $z=re^{\theta i}$ fås $r^4e^{4\theta i}=4e^{\pi i}$. Vi behöver alltså $r^4=4$ och $4\theta=\pi+2\pi n$ för $n\in\mathbb Z$. Vilket ger $r=\sqrt2$ och $\theta=\frac\pi4+\frac\pi2n$. Sätter vi in $n=1,2,3,4$ fås lösningarna $z=\pm1\pm i$. Parar vi ihop konjugerade nollställen får vi
$$z^4+4=(z-1-i)(z-1+i)(z+1+i)(z+1-i)=(z^2-2z+2)(z^2+2z+2).$$
Nollställena är alltså $z=\pm\sqrt2,\ \pm\sqrt2\,i,\ \pm1\pm i$ och faktoriseringen
$$p(z)=(z-\sqrt2)(z+\sqrt2)(z^2+2)(z^2-2z+2)(z^2+2z+2).$$