Hela algebra · 2019-06-10

Uppgift 4

Uppgift 4

I en given godtycklig triangel $\triangle ABC$, låt $M$ vara mittpunkt på $AB$, punkten $N$ på sidan $BC$ uppfyller $\lvert\overrightarrow{BN}\rvert = 2\lvert\overrightarrow{NC}\rvert$, och $P$ är mittpunkt på $AC$. Betrakta baserna $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2) = (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ och $(\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2) = (\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MP})$.

(a)

Uttryck vektorerna $\mathbf{e}_1$ och $\mathbf{e}_2$ i basen $(\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2)$.

(b)

Låt $\mathbf{v}$ vara vektorn med koordinaterna $(1, 2)$ i basen $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2)$. Bestäm koordinaterna för $\mathbf{v}$ i basen $(\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2)$.

Visa lösningDölj lösning

(a) Vi får
$$\vec f_2=\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}=\frac12\vec e_2-\frac12\vec e_1$$
och
$$ \begin{aligned} \vec f_1=\overrightarrow{MN} &=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BN} =\frac12\overrightarrow{AB}+\frac23\overrightarrow{BC}\\ &=\frac12\vec e_1+\frac23(\vec e_2-\vec e_1) =-\frac16\vec e_1+\frac23\vec e_2. \end{aligned} $$
Så $(\vec f_1\ \vec f_2)=(\vec e_1\ \vec e_2)A$, där
$$A=\frac16\begin{pmatrix}-1&-3\\4&3\end{pmatrix}.$$
Därmed är $(\vec e_1\ \vec e_2)=(\vec f_1\ \vec f_2)A^{-1}$. Med standardmetod får vi
$$A^{-1}=\begin{pmatrix}2&2\\-8/3&-2/3\end{pmatrix},$$
så
$$\vec e_1=2\vec f_1-\frac83\vec f_2,\qquad\vec e_2=2\vec f_1-\frac23\vec f_2.$$

(b) Om vektorn $\vec v$ har koordinatmatrisen
$$X=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$$
i basen $(\vec e_1,\vec e_2)$ så har $\vec v$ koordinatmatrisen
$$Y=A^{-1}X=\begin{pmatrix}6\\-4\end{pmatrix}$$
i basen $(\vec f_1,\vec f_2).$