Hela algebra · 2019-06-10
Låt $L$ vara skärningslinjen mellan planen $x + y + z = 1$ och $x + 2y + 3z = 6$, och låt $P$ vara punkten $(1, 3, 3)$.
Bestäm den punkt $Q$ på $L$ som ligger närmast $P$.
Bestäm ekvationen för det plan $\Pi$ som innehåller $L$ och som är sådant att den punkt i $\Pi$ som är närmast $P$ är punkten $Q$ från deluppgift (a).
(a) Löser vi ekvationssystemet med planets ekvationer får vi att $L$ ges av
$$(x,y,z)=(-4,5,0)+t(1,-2,1),\qquad t\in\mathbb R.$$
Alltså är $R=(-4,5,0)$ en punkt på $L$ och $\vec v=(1,-2,1)$ dess riktningsvektor. Vi har $\overrightarrow{RP}=(5,-2,3)$. Om $Q$ är den punkt på $L$ som är närmast $P$ så är
$$\overrightarrow{RQ}=\operatorname{Proj}_{\vec v}(\overrightarrow{RP})=\frac{\overrightarrow{RP}\cdot\vec v}{|\vec v|^2}\vec v=\frac{5+4+3}{6}\vec v=2\vec v=(2,-4,2),$$
så $\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OR}+\overrightarrow{RQ}=(-2,1,2)$. Svar: $Q=(-2,1,2)$.
(b) Om $Q$ är den punkt på planet som är närmast $P$ så måste $\overrightarrow{QP}=(3,2,1)$ vara en normalvektor till planet. Dess ekvation är därmed
$$3(x-(-4))+2(y-5)+1(z-0)=0,$$
dvs. $3x+2y+z+2=0$.