Hela algebra · 2019-06-10
Låt $T$ vara den linjära avbildning av planet som ges av att först spegla i linjen $\sqrt{3}x + y = 0$, och sedan spegla i $y$-axeln.
Bestäm matrisen för $T$ i standardbasen.
Ge en sammanfattande geometrisk tolkning av $T$. Använd den geometriska tolkningen för att avgöra om det finns något heltal $n > 0$ så att $T^{n}$ är identitetsavbildningen, och bestäm i så fall minsta möjliga $n$.
(a) Planets normalvektor är $\vec n=(\sqrt3,1)$. Geometriskt ser vi att speglingen $S(\vec v)$ av en vektor $\vec v=(x,y)$ ges av
$$S(\vec v)=\vec v-2\operatorname{Proj}_{\vec n}(\vec v)
=\vec v-2\frac{\vec v\cdot\vec n}{|\vec n|^2}\vec n
=\vec v-\frac{\sqrt3x+y}{2}\vec n.$$
Detta ger
$$S(\vec v)=\frac12(-x-\sqrt3y,-\sqrt3x+y),$$
från vilket vi får att $S$ har matrisen
$$A=\frac12\begin{pmatrix}-1&-\sqrt3\\-\sqrt3&1\end{pmatrix}.$$
Spegling i $y$-axeln avbildar $\vec e_1$ på $-\vec e_1$ och $\vec e_2$ på $\vec e_2$, så den har matrisen
$$B=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}.$$
Därmed har $T$ matrisen
$$BA=\begin{pmatrix}1/2&\sqrt3/2\\-\sqrt3/2&1/2\end{pmatrix}.$$
(b) Vi ser att $T$ har matrisen
$$\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$$
för $\theta=-\pi/3$, så $T$ är en rotation vinkeln $\pi/3$ medurs. Avbildningen $T^n$ är därför medurs rotation vinkeln $n\pi/3=2n\pi/6$, så det minsta positiva $n$ som ger identitetsavbildningen är $n=6.$