Uppgift 1

Vi behöver att $21x-15=57y$ för heltal $y$, så vi vill lösa den diofantiska ekvationen $21x-57y=15$. Vi förkortar med $\operatorname{SGD}(21,57)=3$ och får $7x-19y=5$. Vi börjar med Euklides algoritm:
$$19=2\cdot7+5,\qquad7=1\cdot5+2,\qquad5=2\cdot2+1.$$
Vi kan nu lösa hjälpekvationen $7x-19y=1$ genom att köra Euklides algoritm baklänges:
$$1=5-2\cdot2=5-2(7-5)=3\cdot5-2\cdot7=3(19-2\cdot7)-2\cdot7=3\cdot19-8\cdot7.$$
Vi får att $(x,y)=(-8,-3)$ är en partikulärlösning till hjälpekvationen. Multipliceras denna med $5$ fås en partikulärlösning till vår ekvation. Eftersom $\operatorname{SGD}(7,19)=1$ är den allmänna lösningen
$$x=-40+19k,\qquad y=-15+7k,\qquad k\in\mathbb Z.$$
Eftersom $-40\equiv17\pmod {19}$ är lösningarna $x=17+19k$ för $k\in\mathbb Z$. Den andra kongruensen motsvarar den diofantiska ekvationen $21x-57y=5$ som saknar lösning eftersom vänsterledet är delbart med $3$, men inte högerledet.