Hela algebra · 2019-08-22
Bestäm alla nollställen i $\mathbb{C}$ till polynomet $f(z) = z^{6} - 64$. Svaren skall anges på rektangulär form.
Hur många udda $4$-siffriga tal som inte är delbara med $5$ finns det? Vad blir svaret om dessutom alla $4$ siffrorna i talet måste vara olika?
(a) Vi skall lösa $z^6=64$. Ansätter vi lösningen på polär form $z=re^{\theta i}$ fås $r^6e^{6\theta i}=64e^{0i}$. Vi behöver alltså $r^6=64$ och $6\theta=2\pi n$ för $n\in\mathbb Z$. Vilket ger $r=2$ och $\theta=\frac\pi3n$. Sätter vi in $n=1,2,3,4,5,6$ fås lösningarna $z=\pm2$ och $z=\pm1\pm\sqrt3\,i$.
(b) Vi skall välja $4$ siffror, där den första (från vänster) inte får vara $0$, och den fjärde måste tillhöra $\{1,3,7,9\}$, så det blir
$$4\cdot9\cdot10\cdot10=3600$$
olika möjligheter. I andra fallet, om man väljer siffrorna i ordningen 4:e, 1:a, 2:a, 3:e ser vi att det blir
$$4\cdot8\cdot8\cdot7=1792$$
olika möjligheter.