Hela algebra · 2019-08-22
Vektorerna $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$ uppfyller $\lVert\mathbf{u}\rVert = 2$, $\lVert\mathbf{u} + \mathbf{v}\rVert = \sqrt{7}$ och $\lVert\mathbf{u} - \mathbf{v}\rVert = \sqrt{19}$. Bestäm längden av $\mathbf{v}$, samt vinkeln mellan $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$.
Rita ellipsen
$$x^{2} + 4y^{2} + 2x - 8y + 1 = 0.$$
Ange speciellt medelpunkt, halvaxlar och brännpunkter.
(a) Kvadreras villkoren får vi
$$|\vec u|^2=4,\qquad|\vec u|^2+2\vec u\cdot\vec v+|\vec v|^2=7,\qquad|\vec u|^2-2\vec u\cdot\vec v+|\vec v|^2=19.$$
Detta ger direkt $\vec u\cdot\vec v=-3$ och $|\vec v|^2=9$, så $|\vec v|=3$ och den sökta vinkeln $\theta$ fås av
$$\cos\theta=\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u||\vec v|}=\frac{-3}{2\cdot3}=-\frac12,$$
vilket ger $\theta=2\pi/3$.
(b) Efter kvadratkomplettering får vi den normaliserade ekvationen
$$\frac{(x+1)^2}{2^2}+\frac{(y-1)^2}{1^2}=1.$$
Från detta ser vi direkt att medelpunkten är $(-1,1)$, halvaxeln i $x$-led är $2$, och halvaxeln i $y$-led är $1$. Vidare, om storaxeln är $a=2$, lillaxeln är $b=1$, och avståndet från medelpunkten till brännpunkterna är $c$, gäller $a^2=b^2+c^2$. Vi får därmed att $c=\sqrt3$, så brännpunkterna är $(-1\pm\sqrt3,1)$. Nu kan vi skissa grafen.