Uppgift 5
Låt $L$ vara skärningslinjen mellan planen $x + y - z = 2$ och $y + z = -1$, och låt $P$ vara punkten $(1, 1, 1)$.
(a)
Bestäm ekvationen (på normalform) för planet som innehåller $L$ och $P$.
(b)
Finn den punkt på $L$ som är närmast $P$.
Hela algebra · 2019-08-22
Uppgift 5
Visa lösningDölj lösning
(a) Löser vi ekvationssystemet med planets ekvationer får vi att $L$ ges av
$$(x,y,z)=(3,-1,0)+t(2,-1,1),\qquad t\in\mathbb R.$$
Alltså är $Q=(3,-1,0)$ en punkt på $L$, och $\vec u=(2,-1,1)$ en riktningsvektor. Vektorerna $\vec u$ och $\vec v=\overrightarrow{QP}=(-2,2,1)$ ligger i planet, så vi får en normalvektor genom
$$
\vec n=\vec u\times\vec v=
\begin{vmatrix}\vec e_1&\vec e_2&\vec e_3\\2&-1&1\\-2&2&1\end{vmatrix}
=-3\vec e_1-4\vec e_2+2\vec e_3=(-3,-4,2).
$$
Planets ekvation är därför
$$-4(x-1)-3(y-1)+2(z-1)=0,$$
dvs. $3x+4y-2z=5$.
(b) Den närmaste punkten $R$ bestäms genom ortogonal projektion på linjen:
$$
\overrightarrow{QR}=\operatorname{Proj}_{\vec u}\overrightarrow{QP}
=\frac{\overrightarrow{QP}\cdot\vec u}{|\vec u|^2}\vec u
=-\frac56\vec u
=\left(-\frac{10}{6},\frac56,-\frac56\right),
$$
så $\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QR}$ ger punkten
$$R=\left(\frac43,-\frac16,-\frac56\right).$$