Hela algebra · 2019-12-04
Bestäm alla punkter $(x, y) \in \mathbb{R}^{2}$, sådana att $x$, $y$ är positiva heltal som uppfyller ekvationen
$$13x + 23y = 1465.$$
Bestäm alla punkter $(x, y) \in \mathbb{R}^{2}$, sådana att $x$, $y$ är positiva heltal som uppfyller ekvationen
$$13x^{2} + 23y^{2} = 1465.$$
(a) Vi börjar med att lösa ekvationen $13x+23y=1$ med Euklides algoritm:
$$23=1\cdot13+10,\qquad13=1\cdot10+3,\qquad10=3\cdot3+1,$$
vilket ger
$$1=10-3\cdot3=10-3(13-10)=4\cdot10-3\cdot13=4(23-13)-3\cdot13=4\cdot23-7\cdot13.$$
En lösning till $13x+23y=1$ ges därför av $x_0=-7$, $y_0=4$. Den allmänna lösningen blir därmed
$$x=1465x_0+23n,\qquad y=1465y_0-13n,$$
dvs.
$$x=-10255+23n,\qquad y=5860-13n.$$
Villkoret $x>0$ ger $n>10255/23=445,\ldots$ och på samma sätt ger $y>0$ att $n<5860/13=450,\ldots$, dvs. $446\leq n\leq450$. Dessa fem värden ger följande möjliga lösningar:
$$(95,10),\ (72,23),\ (49,36),\ (26,49),\ (3,62).$$
(b) Om $(x,y)$ är en möjlig heltalslösning till $13x^2+23y^2=1465$ så måste tydligen $(x^2,y^2)$ vara en lösning till ekvationen i (a). Men den enda av de fem lösningarna där som består av två kvadrater på heltal är
$$(49,36)=(7^2,6^2).$$
$(7,6)$ är alltså den entydiga lösningen i detta fall.