Hela algebra · 2019-12-04
Vi definierar tre plan $\Pi_1$, $\Pi_2$, $\Pi_3$ som beror av parametern $a$ genom följande ekvationer på normalform: $\Pi_1 : x + y + az = 1$, $\Pi_2 : ax - 3y + 4z = -2$, $\Pi_3 : 2x - y + 4z = a$. För vilka värden på det reella talet $a$ saknar de tre planen gemensam punkt och för vilka värden på $a$ finns det oändligt många skärningspunkter? Ange också skärningsmängden om denna blir oändlig för något $a$.
Att undersöka skärningsmängden till planen är ekvivalent med att lösa ekvationssystemet
$$
\begin{cases}
x+y+az=1,\\
ax-3y+4z=-2,\\
2x-y+4z=a.
\end{cases}
$$
Vi beräknar först determinanten
$$
\begin{vmatrix}1&1&a\\a&-3&4\\2&-1&4\end{vmatrix}
=-a^2+2a,
$$
med de två nollställena $0$ och $2$. Dessa är de enda möjliga värdena på $a$.
Fallet $a=2$:
$$
\begin{pmatrix}1&1&2&|&1\\2&-3&4&|&-2\\2&-1&4&|&2\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}1&1&2&|&1\\0&-5&0&|&-4\\0&-3&0&|&0\end{pmatrix}.
$$
De understa två ekvationerna är uppenbarligen motstridiga, vilket ger att det saknas skärningspunkter i detta fall.
Fallet $a=0$:
$$
\begin{pmatrix}1&1&0&|&1\\0&-3&4&|&-2\\2&-1&4&|&0\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}1&1&0&|&1\\0&-3&4&|&-2\\0&-3&4&|&-2\end{pmatrix}.
$$
De understa två ekvationerna är identiska, varför den undre kan strykas. Om vi sätter $z=t$ så följer att
$$y=\frac43t+\frac23,\qquad x=-\frac43t+\frac13.$$
Skärningsmängden är alltså linjen
$$(x,y,z)=\left(\frac13,\frac23,0\right)+t\left(-\frac43,\frac43,1\right).$$