Hela algebra · 2019-12-04

Uppgift 3

Uppgift 3

Betrakta en regelbunden $12$-hörning i planet. Vi kan nu konstruera trianglar genom att välja ut tre olika hörn i denna och låta dessa bilda hörnen i en ny triangel. Observera att två trianglar räknas som identiska om de har samma hörn, oberoende av ordningen på hörnen.

(a)

Hur många sådana trianglar är möjliga?

(b)

Hur många sådana liksidiga trianglar är möjliga?

(c)

Hur många sådana likbenta trianglar är möjliga?

Bilden visar exempel på två likbenta trianglar. Svara på uträknad form.

Visa lösningDölj lösning

(a) Varje sådan triangel bestäms entydigt genom att välja ut en delmängd med tre element ur mängden av de tolv hörnen. Detta kan göras på
$$\binom{12}{3}=\frac{12!}{3!\cdot9!}=\frac{12\cdot11\cdot10}{2\cdot3}=220$$
sätt.

(b) Varje sådan liksidig triangel bestäms entydigt av ett val av ett av de tolv hörnen. Men bland dessa val kommer tre att ge samma triangel, så det finns sammanlagt
$$12/3=4$$
sådana trianglar.

(c) Det finns fem olika typer av likbenta trianglar som kan konstrueras på detta sätt, varav en typ är den liksidiga (se figur). Var och en av de icke-liksidiga typerna förekommer i tolv olika varianter (som fås genom att rotera motsvarande typ-triangel ett tolftedels varv i taget). Den liksidiga typen finns bara i fyra varianter (enligt b). Sammanlagt får vi alltså
$$4\cdot12+4=52$$
sätt.